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首页 › 數學 › 微積分

相關速率計算器

作者: Henrick Yau

- June 28, 2025

| |

計算器
數學工具
數學計算
微積分

相關速率計算器 - Available at: https://calculators.hk/related-rates-calculator/ - Accessed: July 18, 2026. Author: Henrick Yau.

X

相關速率計算器

計算和分析微積分中的相關速率問題。這個計算器幫助解決兩個或多個隨時間變化並由方程式相關的量的問題，允許您在給定另一個變量的變化率時找到一個變量相對於時間的變化率。

問題類型

選擇問題類型：

自定義方程式參數

輸入方程式：

使用 x、y、z 等作為變量

定義變量：

x

圓柱體參數

半徑 (r)：

單位

圓柱體的當前半徑

高度 (h)：

單位

圓柱體的當前高度

半徑的變化率 (dr/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

高度的變化率 (dh/dt)：

單位/s

保持為 0 以尋找此速率

尋找體積的變化率 (dV/dt)

尋找半徑的變化率 (dr/dt)

尋找高度的變化率 (dh/dt)

圓錐體參數

半徑 (r)：

單位

圓錐底部的當前半徑

高度 (h)：

單位

圓錐的當前高度

半徑的變化率 (dr/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

高度的變化率 (dh/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

尋找體積的變化率 (dV/dt)

尋找半徑的變化率 (dr/dt)

尋找高度的變化率 (dh/dt)

球體參數

半徑 (r)：

單位

球體的當前半徑

半徑的變化率 (dr/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

尋找體積的變化率 (dV/dt)

尋找半徑的變化率 (dr/dt)

尋找表面積的變化率 (dSA/dt)

圓形參數

半徑 (r)：

單位

圓形的當前半徑

半徑的變化率 (dr/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

尋找面積的變化率 (dA/dt)

尋找半徑的變化率 (dr/dt)

尋找周長的變化率 (dC/dt)

點之間的距離參數

點 A 的 x 坐標：

單位

點 A 的 y 坐標：

單位

點 B 的 x 坐標：

單位

點 B 的 y 坐標：

單位

A 的 x 坐標的變化率 (dx1/dt)：

單位/s

A 的 y 坐標的變化率 (dy1/dt)：

單位/s

B 的 x 坐標的變化率 (dx2/dt)：

單位/s

B 的 y 坐標的變化率 (dy2/dt)：

單位/s

尋找距離的變化率 (ds/dt)

陰影長度參數

物體高度 (h)：

單位

投射陰影的物體的高度

光源距離 (d)：

單位

光源到物體的水平距離

光源高度 (l)：

單位

光源距離地面的高度

物體移動速率 (dd/dt)：

單位/s

物體朝向/遠離光源的移動速率

尋找陰影長度的變化率 (ds/dt)

尋找距離的變化率 (dd/dt)

矩形參數

長度 (l)：

單位

矩形的當前長度

寬度 (w)：

單位

矩形的當前寬度

長度的變化率 (dl/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

寬度的變化率 (dw/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

尋找面積的變化率 (dA/dt)

尋找長度的變化率 (dl/dt)

尋找寬度的變化率 (dw/dt)

尋找周長的變化率 (dP/dt)

三角形參數

底邊 (b)：

單位

三角形的當前底邊長度

高度 (h)：

單位

三角形的當前高度

底邊的變化率 (db/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

高度的變化率 (dh/dt)：

單位/s

可以是正數（增加）或負數（減少）

尋找面積的變化率 (dA/dt)

尋找底邊的變化率 (db/dt)

尋找高度的變化率 (dh/dt)

顯示解題步驟

顯示可視化

相關速率解答

變化率

6.28 單位³/s

體積以此速率增加

解題步驟

可視化

相關速率：概念概述

理解相關速率

相關速率問題涉及根據其他隨時間變化的量的知識來尋找一個量的變化率，這些量由方程式相關。這些問題是微積分中隱式微分的應用。

相關速率問題的一般方法

識別已知和未知的變化率（相對於時間的導數）
寫出一個方程式，該方程式關聯著給定或尋找的速率的量
對方程式進行隱式微分，相對於時間
代入已知的值和速率
解出未知的速率

常見的相關速率公式

圓柱體體積： V = πr²h
圓錐體體積： V = (1/3)πr²h
球體體積： V = (4/3)πr³
圓形面積： A = πr²
點之間的距離： d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
矩形面積： A = lw
三角形面積： A = (1/2)bh

相關速率中的關鍵概念

隱式微分：對方程式的兩邊進行相對於時間的導數，將所有變量視為時間的函數
鏈式法則：如果 y 是 x 的函數，且 x 是 t 的函數，則 dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
變化率：相對於時間的導數（例如，dr/dt，dV/dt）
瞬時速率：相關速率問題處理的是特定時刻的速率

此計算器提供的解答僅供教育用途。始終驗證結果並理解相關速率問題中涉及的微積分概念。