拉普拉斯變換計算器

分類：微積分
- 2025年4月6日
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計算常見函數和表達式的拉普拉斯變換及其反變換。 請以 t（時間域）或 s（頻率域）輸入您的函數。

變換類型

函數輸入

t =

常見變換

常見拉普拉斯變換對

時間域 f(t) 頻率域 F(s) 條件

關於拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是一種積分變換，將實變數 t（通常是時間）的函數轉換為複變數 s（頻率）的函數。它將微分方程轉換為代數方程，使其更容易求解。

定義

函數 f(t) 的拉普拉斯變換定義為：

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

反拉普拉斯變換定義為：

f(t) = ℒ-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫γ-i∞γ+i∞ est F(s) ds
關鍵性質
  • 線性： ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
  • 微分： ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
  • 積分： ℒ{∫0t f(τ)dτ} = F(s)/s
  • 位移： ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
  • 時間延遲： ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
應用
  • 解決常微分方程和偏微分方程
  • 電子電路和控制系統的分析
  • 信號處理和系統分析
  • 機械振動和熱傳導

拉普拉斯變換計算器是什麼？

拉普拉斯變換計算器是一個實用工具，幫助用戶解決拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換。這些變換用於在時間域和頻率域之間轉換函數——這是工程、物理學和高級數學中的一項基本技術。

這個計算器對於處理微分方程、系統分析或信號處理的學生、教育工作者和專業人士特別有用。

拉普拉斯變換：

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

逆拉普拉斯變換：

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

如何使用計算器

按照以下簡單步驟有效使用拉普拉斯變換計算器：

  • 選擇變換類型：在“拉普拉斯變換”（時間 → 頻率）或“逆拉普拉斯變換”（頻率 → 時間）之間選擇。
  • 輸入函數：根據所選變換，輸入以t或s為變數的表達式。
  • 可選：指定變數的數值，以便在該點獲得計算結果。
  • 選擇精度：選擇您希望最終答案中顯示的小數位數。
  • 點擊“計算變換”：該工具將計算結果並提供逐步解釋。

使其有用的特點

  • 支持拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換
  • 包括常見變換的表格以便快速參考
  • 顯示解決步驟和所用的變換性質
  • 提供函數值的可選數值評估
  • 非常適合快速解決微分方程

為什麼使用這個工具？

手動計算拉普拉斯變換可能耗時且容易出錯。這個計算器簡化了過程並提供即時結果。無論您是在學習電路、機械系統還是數學模型，這個工具都能加快您的工作流程。

該計算器補充了其他數學工具，例如用於多變數微分的偏導數計算器、用於尋找不定積分的不定積分計算器和用於曲率和凹凸性分析的二次導數計算器。它是更廣泛工具包的一部分，對於處理從使用極限計算器尋找函數極限到在線解決積分的積分計算器等各種問題都非常有用。

常見使用案例

  • 解決常微分方程（ODE）
  • 分析控制系統和電路響應
  • 從頻率域表達式評估時間域行為
  • 涉及瞬態或穩態系統的工程和物理應用

常見問題

問：我可以輸入什麼樣的函數？

您可以輸入如t^2、sin(3t)、e^(-2t)或1/s^2等表達式。計算器會自動識別常見形式，或在未找到匹配時提供指導。

問：如果我的函數未被識別會怎樣？

如果您的輸入與已知變換不匹配，計算器會通知您。您可以參考界面中包含的常見變換表，或嘗試修改您的輸入。

問：我可以用這個來檢查作業或任務嗎？

可以，這非常適合檢查拉普拉斯變換結果和理解解決步驟，這有助於鞏固學習。

問：這也適用於逆變換嗎？

當然可以。只需將變換類型切換為“逆拉普拉斯變換”，並以s為變數輸入頻率域函數。

問：這與其他計算器一起使用有用嗎？

絕對有用。與隱式導數計算器、平均值定理計算器或雅可比計算器等工具一起使用，可以涵蓋廣泛的微積分和系統分析問題。

結論

拉普拉斯變換計算器是一個有用且易於使用的工具，適合任何需要快速和準確變換結果的人。無論您是在嘗試解決拉普拉斯方程、分析系統行為還是簡化微分方程，它都提供清晰的輸出和解釋。與其他計算器如方向導數計算器或函數平均值計算器一起使用，可以自信地處理更多類型的數學問題。