不定積分計算器

- 2025年05月15日
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此計算器幫助您找到函數的反導數（不定積分）。輸入您的函數並查看逐步的積分過程。

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關於反導數

反導數，也稱為不定積分，是一個函數 F，其導數等於原始函數 f。換句話說，如果 F'(x) = f(x)，則 F(x) 是 f(x) 的反導數。

關鍵積分法則
  • 幂法則： ∫xⁿ dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，對於 n ≠ -1
  • 指數法則： ∫e^x dx = e^x + C
  • 對數法則： ∫(1/x) dx = ln|x| + C
  • 正弦法則： ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
  • 餘弦法則： ∫cos(x) dx = sin(x) + C
  • 正切法則： ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
反導數的應用

反導數在微積分中是基本的，並在以下方面有各種應用：

  • 物理學（從速度計算位移，從力計算功）
  • 經濟學（從邊際函數確定總成本或收入）
  • 工程學（分析物理系統和信號處理）
  • 概率（處理概率密度函數）
  • 計算機圖形學（曲線和參數方程）

理解不定積分計算器

不定積分計算器是一個簡單的工具，旨在計算數學函數的不定積分（反導數）。無論你是在學習微積分還是解決現實世界的問題，這個工具通過提供逐步解決方案和結果的可視化，簡化了尋找不定積分的過程。

什麼是反導數？

反導數是微分的反向操作。它回答了這個問題：“哪個函數在微分後會得到我開始的函數？”如果 ( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的反導數，那麼：

d/dx [F(x)] = f(x)

反導數通常用於解決涉及累積的問題，例如計算曲線下的面積、總變化或解決微分方程。

計算器的主要特點

  • 準確的反導數計算：

  • 快速計算常見數學函數的反導數。

  • 逐步解釋：

  • 每個計算都分解為清晰易懂的步驟。

  • 圖形可視化：

  • 在圖形上同時顯示原始函數及其反導數，以理解它們之間的關係。

  • 預載示例：

  • 從 x^2 + sin(x)、e^x 和 cos(x) 等示例開始，以查看計算器的運作方式。

  • 適合移動設備的設計：

  • 在桌面和移動設備上都能無縫運行。

如何使用不定積分計算器

  1. 輸入一個函數：

  2. 在標記為 Enter a function 的輸入框中輸入你的函數。例如，你可以輸入 x^2 + sin(x)。

  3. 選擇一個示例 (可選)：

  4. 使用下拉菜單選擇一個預載的示例，例如 e^x 或 cos(x)。輸入框將自動更新。

  5. 點擊計算：

  6. 按下 Calculate 按鈕以查看結果：

    • 以標準數學符號顯示的反導數。
    • 計算過程的逐步解釋。
    • 比較原始函數及其反導數的圖形。

  7. 清除輸入：

  8. 按下 Clear 按鈕以重置計算器並重新開始。

示例逐步解析

示例 1: x^2 + sin(x)

  • 反導數： x^3 / 3 - cos(x) + C
  • 步驟：
  • x^2 的反導數是 x^3 / 3。
  • sin(x) 的反導數是 -cos(x)。
  • 結合結果並添加積分常數 C：x^3 / 3 - cos(x) + C。
  • 圖形： 圖形顯示輸入函數 x^2 + sin(x) 及其反導數 x^3 / 3 - cos(x) + C。

示例 2: e^x

  • 反導數： e^x + C
  • 步驟：
  • e^x 的反導數是它自己，e^x。
  • 添加積分常數 C 以完成解答。
  • 圖形： 圖形顯示 e^x 及其反導數 e^x + C，因為它們的形狀相同而重疊。

示例 3: cos(x)

  • 反導數： sin(x) + C
  • 步驟：
  • cos(x) 的反導數是 sin(x)。
  • 添加積分常數 C 以完整。
  • 圖形： 圖形顯示輸入函數 cos(x) 及其反導數 sin(x) + C。

為什麼使用這個計算器？

這個計算器使每個人都能輕鬆找到反導數：

  • 教育工具：

  • 通過逐步解析學習如何計算反導數。

  • 圖形表示：

  • 通過可視化圖形深入理解函數及其反導數。

  • 便利性：

  • 避免手動計算，獲得即時結果。

今天就試試吧

無論你是在學習微積分還是解決實際問題，不定積分計算器都能幫助你。輸入一個函數，點擊計算，探索反導數的力量。