複數運算器

作者: Henrick Yau
- July 19, 2026
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複數運算器

對複數進行全面的運算，包括算術、三角、指數和對數函數。此計算器支持矩形形式 (a + bi) 和極坐標形式 (r∠θ)，提供詳細的逐步解決方案以進行數學分析和工程應用。

複數輸入

第一個複數 (z₁)

i

第二個複數 (z₂)

i

運算選擇

基本算術
冪和根
高級函數

顯示選項

理解複數

複數通過引入虛數單位 i 擴展了實數系統，其中 i² = -1。它們在數學、物理、工程和信號處理中至關重要，為難以或不可能僅用實數解決的問題提供優雅的解決方案。

數字表示
  • 矩形形式： z = a + bi，其中 a 是實部，b 是虛部
  • 極坐標形式： z = r∠θ 或 z = r(cos θ + i sin θ)，其中 r 是大小，θ 是角度
  • 指數形式： z = re^(iθ)，使用歐拉公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ
  • 大小： |z| = √(a² + b²)，在複平面中從原點的距離
  • 幅角： arg(z) = arctan(b/a)，與正實軸的角度
關鍵運算和性質
  • 加法/減法： 在矩形形式中逐項進行
  • 乘法： 在極坐標形式中大小相乘，角度相加
  • 除法： 在極坐標形式中大小相除，角度相減
  • 複共軛： z* = a - bi，沿實軸反射
  • 德莫弗定理： (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
  • 歐拉恆等式： e^(iπ) + 1 = 0，連接 e、i、π、1 和 0
應用
  • 電氣工程： 交流電路分析，阻抗計算
  • 信號處理： 傅里葉變換，頻域分析
  • 量子力學： 波函數，概率幅度
  • 控制系統： 穩定性分析，頻率響應
  • 計算機圖形學： 2D 旋轉，變換
  • 純數學： 複分析，數論，代數幾何

免責聲明：此計算器提供複數的數值計算。雖然結果以高精度計算，但浮點運算可能會引入小的四捨五入誤差。對於關鍵應用，請使用其他計算工具驗證結果，並考慮數值精度的限制。

使用的關鍵公式：
  • 加法： (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • 減法： (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • 乘法： (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
  • 除法： (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)
  • 模： |z| = √(a² + b²)
  • 幅角： arg(z) = tan⁻¹(b/a)
  • 極坐標形式： z = r(cos θ + i·sin θ)
  • 指數形式： z = re^(iθ)

什麼是複數計算器？

複數計算器是一個互動式數學解決工具，可以簡化、分析和可視化涉及複數的運算。無論您使用矩形、極坐標或指數形式，這個計算器都能提供清晰的結果和可選的逐步分解，幫助加深您的理解。

為什麼使用這個計算器？

複數在工程、物理和應用數學等領域中至關重要。這個計算器通過執行準確的計算和可視化結果來節省時間並減少錯誤。它對於學習代數、三角學或信號處理的學生來說也是一個有用的學習伴侶。

如何使用計算器

按照以下步驟計算和分析複數運算：

  • 選擇您喜歡的輸入模式：矩形、極坐標或指數。
  • 輸入兩個複數的值（z₁ 和 z₂）。
  • 選擇角度單位：度或弧度（在極坐標或指數模式下相關）。
  • 勾選您想執行的運算：加法、減法、乘法、除法、冪、根以及共軛和三角函數等高級函數。
  • 設置可選的偏好設置，如小數位數、逐步分解和可視化。
  • 點擊計算按鈕以查看結果。

功能一覽

  • 支持矩形（a + bi）、極坐標（r∠θ）和指數（reiθ）輸入
  • 執行算術和高級運算，如平方根和對數
  • 在複平面上圖形化顯示複數
  • 顯示可選的逐步計算以供學習使用
  • 自動在不同形式之間轉換並處理實部和虛部

這個計算器如何幫助您

這個工具簡化了複數算術，幫助學生和專業人士以視覺和數字方式探索數學概念。它可以補充其他工具，例如：

常見問題 (FAQ)

接受哪些類型的輸入？
您可以使用矩形（a + bi）、極坐標（r∠θ）或指數（reiθ）形式輸入值。

我可以查看每個計算的步驟嗎？
可以。啟用“顯示逐步計算”以查看每個結果的詳細計算過程。

角度單位選項有哪些？
在輸入或解釋角度值時，您可以選擇度或弧度。

是否提供圖形輸出？
是的。計算器可以在複平面上繪製您的複數以進行視覺分析。

結果的準確性如何？
計算器使用高精度算術。您可以選擇顯示的小數位數，儘管可能會發生一些小的四捨五入。

結論

無論您是第一次學習複數還是解決高級方程，這個複數計算器都提供了一個有用的界面來探索算術、三角、指數和對數函數。它是學生、教師、工程師和數學愛好者的可靠伴侶。