等比數列計算器

幾何數列計算器：解釋與指南

幾何數列計算器是一個強大的工具，旨在根據提供的輸入計算幾何數列的項、公共比、有限和無限和。它簡化了解決與幾何數列相關的問題的過程，提供逐步解決方案以便更好地理解。

什麼是幾何數列？

幾何數列是一組數字的序列，其中每個項都是通過將前一項乘以一個固定的非零數字（稱為公共比（(r)））來獲得的。

例如： - 序列：(2, 6, 18, 54) - 公共比：(r = \frac{6}{2} = 3)

一般來說，幾何數列的第 (n) 項可以表示為： [ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ] 其中： - (a_1) 是第一項， - (r) 是公共比， - (n) 是該項在序列中的位置。

計算器的特點

• 計算項：計算幾何數列的特定項。
• 查找公共比：確定連續項之間的比率。
• 前 (n) 項的和：計算前 (n) 項的和（(S_n)）。
• 無限和：如果適用（(|r| < 1)），計算無限和（(S_\infty)）。
• 逐步解決方案：為每個計算提供詳細的解釋。

如何使用計算器

1. 輸入數據：
2. 輸入 (a_n) 的公式或提供序列的前三項。
3. 如果已知，指定公共比（(r)）。

4. 可選：輸入您想要計算和的項數（(n)）。

5. 示例下拉選單：

6. 使用 示例 下拉選單選擇預定義數據，以查看計算器的工作方式。

7. 計算：

8. 點擊 計算 按鈕以計算結果。

9. 結果將包括項、公共比、前 (n) 項的和以及無限和（如果存在）。

10. 清除輸入：

11. 點擊 清除 以重置所有輸入和輸出。

輸出

計算器提供： - 項：根據輸入顯示序列的項。 - 公共比：顯示項之間的固定乘數。 - 前 (n) 項的和（(S_n)）：使用公式計算和： [ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{（如果 (r \neq 1)）} ] - 無限和（(S_\infty)）：對於 (|r| < 1) 使用以下公式計算無限和： [ S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} ] - 逐步解釋：提供詳細計算以便透明和學習。

示例用例

示例 1

• 序列：(2, 6, 18)
• 公共比：(r = 3)
• 前 4 項的和： [ S_4 = 2 \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 80 ]

示例 2

• 公式：(a_n = 5 \cdot 2^{n-1})
• 序列：(5, 10, 20, \dots)
• 無限和： [ S_\infty = \frac{5}{1 - 2} \quad \text{（不適用，因為 (|r| > 1)）} ]

常見問題

什麼是幾何數列？

幾何數列是一系列數字，其中每個項都是通過將前一項乘以一個固定數字（稱為公共比（(r)））來獲得的。

什麼是公共比？

公共比是每個項在序列中被乘以的常數值，以獲得下一項。它的計算方式為： [ r = \frac{a_2}{a_1} ]

無限和何時存在？

無限和僅在公共比的絕對值小於 1（(|r| < 1)）時存在。

前 (n) 項的和（(S_n)）是什麼？

幾何數列中前 (n) 項的和計算為： [ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{如果 (r \neq 1)}。 ]

如果公共比是 1，會發生什麼？

如果 (r = 1)，則序列變為常數，和為： [ S_n = n \cdot a_1 ]

下拉選單的作用是什麼？

下拉選單提供預定義的示例，幫助用戶理解計算器的工作方式。

這個工具非常適合學生、教育工作者以及任何希望簡化幾何數列計算的人。讓 幾何數列計算器 為您計算！