第 n 階導數計算器

分類：微積分

- 2025年3月28日

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什麼是 N 次導數？

函數 ( f(x) ) 的 n 次導數是該函數的導數取 ( n ) 次。它將導數的概念推廣到更高的階數：

一階導數 ( f'(x) ) 描述了 ( f(x) ) 的變化率。
二階導數 ( f''(x) ) 表示 ( f'(x) ) 的變化率，通常與凹凸性有關。
更高階的導數，例如 ( f^{(n)}(x) )，提供有關函數越來越複雜的行為的信息，如振盪或曲率趨勢。

例如： - 如果 ( f(x) = x^3 + 2x )，則： - ( f'(x) = 3x^2 + 2 ) - ( f''(x) = 6x ) - ( f^{(3)}(x) = 6 )，依此類推。

n 次導數在物理學、工程學和數據科學等領域至關重要，因為理解函數的趨勢和行為是關鍵。

N 次導數計算器的特點

計算任意階數： 快速計算函數的 n 次導數，適用於任何正整數 ( n )。
逐步過程： 查看中間步驟以了解導數是如何計算的。
圖形表示： 在圖表上可視化原始函數及其 n 次導數。
預設範例： 使用預加載的範例進行快速測試。

如何使用 N 次導數計算器

輸入一個函數：
以格式 ( f(x) = \ldots ) 輸入數學函數。
例如：( x^3 + \sin(x) )。
指定導數的階數（( n )）：
輸入 ( n ) 的值以計算 n 次導數。
例如：輸入 ( n = 2 ) 以獲得二階導數。
選擇一個範例（可選）：
從預設範例中選擇以查看計算器的工作方式。
點擊“計算”：
查看結果、詳細步驟以及顯示原始函數及其 n 次導數的圖形。
清除輸入：
使用“清除”按鈕重置所有字段。

範例

輸入：

函數：( f(x) = x^3 + \sin(x) )
階數：( n = 2 )

輸出：

( f'(x) = 3x^2 + \cos(x) )
( f''(x) = 6x - \sin(x) )

圖形顯示原始函數 ( f(x) ) 及其二階導數 ( f''(x) )。

常見問題

什麼是導數？

導數是衡量函數隨著其輸入變化而變化的程度。它表示函數在任何點的斜率。

什麼是 n 次導數？

n 次導數是取導數 ( n ) 次的結果。例如，二階導數是對一階導數的導數。

計算器能處理三角函數和指數函數嗎？

是的，計算器支持 ( \sin(x) )、( \cos(x) )、( e^x ) 等函數。

如果導數為零會怎樣？

如果 n 次導數為零，則意味著該階數的函數變為常數。

我可以用這個計算器計算偏導數嗎？

不可以，這個計算器僅適用於單變量函數。對於偏導數，請使用單獨的工具。

對函數有什麼限制嗎？

確保函數是良定義且可微的。避免不連續和未定義的行為，如除以零。

使用計算器的好處

節省時間： 自動化查找高階導數的過程。
教育性： 提供詳細步驟以便學習和理解。
視覺洞察： 圖形提供對函數行為的更深入理解。

無論你是學生、教師還是專業人士，這個計算器簡化了查找 n 次導數的過程，並幫助可視化複雜的數學函數。今天就試試吧！