無限級數計算器

分類：數列與級數
- 2025年09月26日
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計算無限級數的收斂性、部分和，並分析數學級數。這個計算器幫助學生、數學家和工程師理解級數行為、收斂測試和各種無限級數的近似值。

級數定義

使用 'n' 作為索引變量（支持 +, -, *, /, ^, sin, cos, ln, exp）
n₀
p/r
對於 p-級數 (p)、幾何級數 (r) 等。

分析選項

項
用於部分和計算
位

可視化選項

到
繪製部分和的範圍

進階設置

ε
收斂檢測的閾值

無限級數理論

無限級數是無限多項的總和。理解收斂行為對於微積分、物理學、工程學和數學分析的應用至關重要。

級數類型
  • 幾何級數： ∑ar^n = a/(1-r) 當 |r| < 1
  • p-級數： ∑1/n^p 當 p > 1 收斂，p ≤ 1 時發散
  • 調和級數： ∑1/n 發散（p = 1 的情況）
  • 交替級數： ∑(-1)^n·a_n 具有特殊的收斂標準
  • 冪級數： ∑a_n(x-c)^n 具有收斂半徑
  • 泰勒/麥克勞林級數： 函數表示為冪級數
收斂測試
  • 比值測試： lim|a_{n+1}/a_n| = L。當 L < 1 時收斂，L > 1 時發散
  • 根測試： lim|a_n|^{1/n} = L。當 L < 1 時收斂，L > 1 時發散
  • 積分測試： 與相應函數的不定積分進行比較
  • 比較測試： 與已知的收斂/發散級數進行比較
  • 極限比較測試： 使用與比較級數的比值極限
  • 交替級數測試： 如果項數減少並接近 0，則級數收斂
重要級數值
  • 巴塞爾問題： ∑1/n² = π²/6 ≈ 1.6449
  • 黎曼ζ函數： ζ(s) = ∑1/n^s 對於不同的 s 值
  • 指數： e^x = ∑x^n/n!（對所有 x 收斂）
  • 正弦級數： sin(x) = ∑(-1)^n·x^{2n+1}/(2n+1)!
  • 餘弦級數： cos(x) = ∑(-1)^n·x^{2n}/(2n)!
  • 自然對數： ln(1+x) = ∑(-1)^{n+1}·x^n/n 當 |x| < 1
應用
  • 數值分析： 近似函數和積分
  • 物理學： 波函數、量子力學、統計力學
  • 工程學： 信號處理、控制系統、傅里葉分析
  • 經濟學： 現值計算、增長模型
  • 計算機科學： 算法分析、生成函數
  • 概率： 矩生成函數、特徵函數
收斂行為
  • 絕對收斂： ∑|a_n| 收斂 ⟹ ∑a_n 收斂
  • 條件收斂： ∑a_n 收斂但 ∑|a_n| 發散
  • 均勻收斂： 對逐項操作很重要
  • 收斂速率： 部分和接近極限的速度
  • 收斂半徑： 冪級數收斂的範圍

免責聲明：此計算器提供無限級數的數值近似和理論分析。結果受計算精度限制，可能不反映精確的數學值。對於嚴謹的證明和詳細分析，請參考數學文獻並獨立驗證結果。某些級數可能需要超出此計算器範疇的高級技術。