法線計算器

分類：微積分
- 2025年3月26日
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理解法線及如何使用法線計算器

什麼是法線？

在給定點的曲線上的法線是與該點的切線垂直的直線。如果切線的斜率為 ( m )，則法線的斜率為其負倒數，表示為 ( -\frac{1}{m} )。

法線在幾何學和微積分中至關重要，特別是在分析正交軌跡或定義從一點到曲線的最短路徑時。

法線計算器的目的

這個計算器簡化了在特定點 ( x_0 ) 找到給定函數 ( f(x) ) 的法線方程的過程。它： - 計算切線和法線的斜率。 - 提供法線的方程。 - 顯示顯示函數和法線的圖形。

如何使用計算器

按照以下步驟計算法線：

  1. 輸入函數：

  2. 在文本框中輸入函數 ( f(x) )。例如：( x^2 + 3x - 4 )。

  3. 指定點 ( x_0 )：

  4. 提供您想要找到法線的點的 ( x )-坐標。

  5. 計算：

  6. 點擊“計算”按鈕。計算器將：

    • 計算 ( f(x) ) 的導數。
    • 評估在 ( x_0 ) 的切線斜率。
    • 確定法線的斜率和方程。

  7. 查看結果：

  8. 解決方案，包括步驟和法線方程，將顯示出來。

  9. 將生成顯示函數和法線的圖形。

  10. 清除輸入：

  11. 使用“清除”按鈕重置輸入和圖形。

示例

問題：

找到 ( f(x) = x^2 ) 在 ( x_0 = 1 ) 的法線。

解決方案：

  1. 輸入：
  2. 函數：( f(x) = x^2 )

  3. 點：( x_0 = 1 )

  4. 步驟：

  5. 計算導數：( f'(x) = 2x )。
  6. 評估切線的斜率：( f'(1) = 2 )。
  7. 法線的斜率：( m = -\frac{1}{2} )。

  8. 法線的方程：( y = -\frac{1}{2}(x - 1) + 1 )。

  9. 答案：

  10. 法線：( y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} )。

  11. 圖形：

  12. 圖形顯示拋物線 ( f(x) = x^2 ) 和法線。

常見問題 (FAQ)

切線和法線之間有什麼區別？

  • 切線在曲線的單一點上接觸並且在該點的斜率與曲線相同。
  • 法線在該點上與切線垂直。

法線可以是垂直的嗎？

  • 可以，當切線的斜率為 ( 0 ) 時，法線是垂直的。在這種情況下，法線的方程將具有形式 ( x = x_0 )。

如果切線的斜率未定怎麼辦？

  • 如果切線的斜率未定，法線是水平的，形式為 ( y = y_0 )。

我可以對任何函數使用這個計算器嗎？

  • 這個計算器支持大多數數學函數，包括多項式、三角函數、指數函數和對數函數。

圖形是互動的嗎？

  • 圖形提供了函數和法線的可視化表示，但不是互動的。

為什麼使用這個工具？

法線計算器簡化了繁瑣的計算，確保準確性並提供視覺清晰度。無論您是學生、教育工作者還是專業人士，這個工具都能簡化您的工作流程並增強理解。