定義域與值域計算器

分類：微積分

- 2025年3月29日

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輸入函數 \( f(x) \)：

區間起點：區間終點：

什麼是定義域和範圍計算器？

定義域和範圍計算器是一種工具，旨在幫助用戶確定給定函數 ( f(x) ) 的輸入值集合（定義域）和輸出值集合（範圍）。它自動化了識別函數定義的區域（定義域）和它可以產生的輸出（範圍）的過程，使其成為理解數學函數的強大資源。

主要特點

函數輸入： 輸入數學函數，如 ( x^2 )、( \ln(x) ) 或 ( \frac{1}{x-1} )。
自定義區間： 指定要分析的 ( x ) 值範圍（例如，( [-10, 10] )）。
示例函數： 快速加載預定義的示例，如 ( x^2 ) 或 ( \sqrt{x} ) 進行測試。
圖形可視化： 顯示函數圖形以說明其行為。
未定義點檢測： 突出顯示區間內函數未定義的點。
逐步結果： 提供每個區間點計算的詳細分解。

如何使用定義域和範圍計算器

按照以下簡單步驟開始：

輸入函數：
在文本框中輸入函數 ( f(x) )（例如，( x^2, \ln(x), \frac{1}{x-1} )）。
或者，從下拉菜單中選擇預定義的示例。
指定區間：
輸入區間的起始和結束值（例如，( x \in [-10, 10] )）。
確保起始值小於結束值。
點擊「計算」：
計算器在區間內評估函數，確定：
- 有效的 ( x ) 值（定義域）。
- 對應的 ( y ) 值（範圍）。
- 函數未定義的點。
查看結果：
計算器顯示：
- 近似的定義域和範圍。
- 區間內的任何未定義點。
- 詳細的逐步解釋。
- 函數的圖形以便於理解。
清除輸入（可選）：
使用「清除」按鈕重置所有輸入並開始新的計算。

計算器的好處

節省時間： 自動化評估複雜函數的定義域和範圍的過程。
教育性： 逐步解釋使其成為學生和教師的優秀學習工具。
視覺清晰： 圖形幫助用戶一目了然地理解函數的行為。
靈活輸入： 支持各種數學函數，包括多項式、對數和有理函數。

常見問題解答（FAQ）

1. 函數的定義域是什麼？

函數 ( f(x) ) 的定義域是所有 ( x ) 值的集合，該函數在這些值上是定義的。例如： - ( f(x) = \sqrt{x} ) 的定義域是 ( x \geq 0 )。 - ( f(x) = \frac{1}{x-1} ) 的定義域不包括 ( x = 1 )，在該點函數未定義。

2. 函數的範圍是什麼？

函數 ( f(x) ) 的範圍是該函數可以產生的所有可能的 ( y ) 值（輸出）的集合。

3. 計算器如何檢測未定義點？

計算器在區間內的每個點評估 ( f(x) )。如果某個點產生未定義值（例如，除以零或對負數取對數），則將該點標記為未定義。

4. 我可以使用自定義區間嗎？

是的，您可以通過輸入起始和結束值來指定任何區間。計算器將在此範圍內分析函數。

5. 我可以分析哪些類型的函數？

計算器支持多種函數，包括： - 多項式（( x^2, x^3 - 4x + 2 )） - 對數函數（( \ln(x) )） - 三角函數（( \sin(x), \cos(x) )） - 有理函數（( \frac{1}{x-1} )） - 平方根函數（( \sqrt{x} )）

6. 如果我輸入無效的函數會怎樣？

如果函數無效或輸入不完整，計算器會顯示錯誤消息，提示您更正輸入。

示例用例

問題： 找到在區間 ( [-5, 5] ) 上 ( f(x) = \frac{1}{x-1} ) 的定義域和範圍。

輸入：
函數：( f(x) = \frac{1}{x-1} )
區間：( x \in [-5, 5] )
計算：
定義域：所有 ( x ) 值，除了 ( x = 1 )，在該點函數未定義。
範圍：根據 ( f(x) ) 的近似 ( y ) 值。
輸出：
定義域：近似 ( [-5, 1) \cup (1, 5] )
範圍：近似 ( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) )
未定義點：( x = 1 )
圖形：可視化函數，排除未定義點。

結論

定義域和範圍計算器是一個多功能的工具，用於分析函數。它簡化了查找定義域和範圍的過程，同時提供逐步解釋和圖形功能的教育價值。無論您是學生、教師還是專業人士，這個計算器都使探索和理解數學函數變得簡單。