反導數計算器

作者: Henrick Yau
- 2026年8月5日
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計算機

找到函數的反導數（不定積分）。這個計算器幫助您從其導數確定原始函數。

輸入函數

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關於反導數和積分

函數 f(x) 的反導數（或不定積分）是函數 F(x)，其導數為 f(x)。 換句話說，如果 F'(x) = f(x)，則 F(x) 是 f(x) 的反導數。

反導數的關鍵性質
  • 如果 F(x) 是 f(x) 的反導數，則 F(x) + C 也是反導數，其中 C 是任何常數
  • 和的反導數是反導數的和：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • 常數倍法則：∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx，其中 k 是常數
  • 幂法則：∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C，其中 n ≠ -1
  • e^x 的積分：∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x 的積分：∫(1/x)dx = ln|x| + C
積分的應用

反導數和積分在以下方面有許多應用：

  • 計算曲線下方和曲線之間的面積
  • 計算三維物體的體積
  • 解決微分方程
  • 物理應用：功、能量和運動
  • 概率和統計
  • 工程：應力分析、流體動力學等

反導數公式與定義

反導數有助於計算給定函數的反函數的導數。對於函數 ( f(x) )，其反函數 ( f^{-1}(x) ) 的導數可以使用以下公式來確定：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

這個公式源於關係 ( f(f^(-1)(x)) = x )。通過對兩邊對 ( x ) 進行微分，我們得到：

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

解出 ( (f^(-1)(x))' )，我們得到：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

這個概念在微積分中尤其有用，用於分析反函數在特定點的變化速度。

計算器功能：逐步解說與圖像

  • 詳細步驟： 輸入一個函數和一個 ( x ) 值，以查看詳細的逐步解決方案。
  • 示例函數： 使用預加載的函數進行測試，例如 ( f(x) = x^2 + 1 )、( f(x) = e^x ) 或 ( f(x) = ln(x) )。
  • 圖形可視化： 計算器繪製函數及其反導數的圖形。

輸入函數與x值計算反導數

  1. 輸入一個函數： 輸入您想計算反導數的函數 ( f(x) )。例如：x^2 + 1 或 e^x。
  2. 指定一個 ( x ) 值： 輸入您想計算反函數導數的點。
  3. 點擊計算： 查看結果以及計算的詳細解釋。
  4. 探索預加載示例： 使用下拉菜單嘗試示例函數，看看計算器如何運作。

計算f(x)=x²+1在x=2的反導數

假設您想計算 ( f(x) = x^2 + 1 ) 在 ( x = 2 ) 處的反導數：

  1. ( f(x) ) 的導數是：

( f'(x) = 2 * x )

  1. 評估 ( f'(2) )：

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. 使用反導數的公式：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

在 ( x = 2 ) 時，反導數為：

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

快速計算與可視化反導數的好處

  • 快速計算複雜函數的反導數。
  • 在互動圖形上可視化函數及其反導數。
  • 通過逐步解決方案理解過程。