反導數計算器

分類：微積分
- 2025年3月26日
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什麼是反導數？

反導數有助於計算給定函數的反函數的導數。對於函數 ( f(x) )，其反函數 ( f^{-1}(x) ) 的導數可以使用以下公式來確定：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

這個公式源於關係 ( f(f^(-1)(x)) = x )。通過對兩邊對 ( x ) 進行微分，我們得到：

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

解出 ( (f^(-1)(x))' )，我們得到：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

這個概念在微積分中尤其有用，用於分析反函數在特定點的變化速度。

反導數計算器的特點

  • 詳細步驟： 輸入一個函數和一個 ( x ) 值，以查看詳細的逐步解決方案。
  • 示例函數： 使用預加載的函數進行測試，例如 ( f(x) = x^2 + 1 )、( f(x) = e^x ) 或 ( f(x) = ln(x) )。
  • 圖形可視化： 計算器繪製函數及其反導數的圖形。

如何使用反導數計算器

  1. 輸入一個函數： 輸入您想計算反導數的函數 ( f(x) )。例如：x^2 + 1 或 e^x。
  2. 指定一個 ( x ) 值： 輸入您想計算反函數導數的點。
  3. 點擊計算： 查看結果以及計算的詳細解釋。
  4. 探索預加載示例： 使用下拉菜單嘗試示例函數，看看計算器如何運作。

示例演示

假設您想計算 ( f(x) = x^2 + 1 ) 在 ( x = 2 ) 處的反導數：

  1. ( f(x) ) 的導數是：

( f'(x) = 2 * x )

  1. 評估 ( f'(2) )：

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. 使用反導數的公式：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

在 ( x = 2 ) 時，反導數為：

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

使用此計算器的主要好處

  • 快速計算複雜函數的反導數。
  • 在互動圖形上可視化函數及其反導數。
  • 通過逐步解決方案理解過程。