Gram-Schmidt 計算器

分類：線性代數
- 2025年06月21日
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Gram-Schmidt 過程是一種在內積空間中正交化向量集的方法。此計算器將任何一組線性獨立的向量轉換為正交或正規正交基。

向量輸入

選擇您的向量維度
選擇要正交化的向量數量

計算選項

選擇是否要對輸出向量進行正規化
將結果四捨五入到這麼多小數位

進階設置

選擇要使用的內積類型

關於 Gram-Schmidt 過程

Gram-Schmidt 過程是一種將一組線性獨立的向量轉換為一組正交或正規正交向量的方法。這組正交或正規正交集與原始向量集所張成的子空間相同。

算法

對於一組線性獨立的向量 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \)，Gram-Schmidt 過程構造一組正交集 \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \) 如下：

\begin{align} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{v}_3 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) - \text{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) \\ \vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) \end{align}

其中 \( \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} \) 是 \( \mathbf{v} \) 在 \( \mathbf{u} \) 上的投影。

為了獲得正規正交基，每個向量 \( \mathbf{u}_i \) 通過除以其長度來正規化：\( \mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{|\mathbf{u}_i|} \)。

應用
  • 線性代數： 為向量空間創建正交基
  • 數值分析： 矩陣的 QR 分解
  • 統計： 在回歸分析中正交化預測變數
  • 物理： 找到振動的正常模式
  • 信號處理： 創建正交基函數
  • 量子力學： 構建正規正交基態
正交向量的性質
  • 內積： 對於正交向量 \( \mathbf{u} \) 和 \( \mathbf{v} \)，\( \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0 \)
  • 線性獨立： 非零正交向量自動線性獨立
  • 畢氏定理： 對於正交向量，\( |\mathbf{u} + \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 \)
  • 表示： 在張成的空間中的任何向量都可以輕鬆表示為線性組合

免責聲明：此計算器提供 Gram-Schmidt 過程的實現，僅供教育用途。對於非常大的維度或條件不良的向量，數值穩定性可能會受到影響。在專業應用中，考慮使用專門的數值庫。由於浮點運算的限制，Gram-Schmidt 過程可能會對幾乎線性相關的向量產生不準確的結果。

Gram-Schmidt 正交化公式：

給定一組線性獨立的向量 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \)，正交集 \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \) 的構造如下：

\[ \begin{align*} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{v}_3 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) - \text{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) \\ \vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) \end{align*} \]

投影定義為： \[ \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} \]

什麼是 Gram-Schmidt 計算器？

Gram-Schmidt 計算器是一個互動工具，幫助您將一組線性獨立的向量轉換為正交或正規的基底。這對於簡化複雜的向量運算和在高維空間中高效工作非常有用。

此工具支持標準點積和加權內積，為不同的數學或工程背景提供靈活性。

為什麼使用這個工具？

當您想要：

  • 為向量空間創建正交或正規基底
  • 理解 QR 分解，這是線性代數和數值分析中的基礎過程
  • 快速驗證向量的正交性
  • 在物理、數據分析或機器學習中應用向量投影

它補充了其他工具，如 QR 分解計算器、矩陣逆計算器 和 向量投影計算器，通過以結構化的正交格式準備數據。

如何使用計算器

按照以下步驟執行 Gram-Schmidt 過程：

  1. 選擇您的向量的 維度（例如，2D、3D 等）。
  2. 選擇要包含的向量數量（最多 5 個）。
  3. 輸入每個向量的分量。提供默認值以便快速測試。
  4. 選擇 正交 或 正規 作為輸出類型。
  5. 可選：根據需要調整小數精度或選擇 加權點積。
  6. 點擊 "計算 Gram-Schmidt" 以查看結果，包括：
    • 正交化的向量
    • 逐步分解
    • 矩陣表示
    • 正交性檢查
    • 應用提示

誰能受益？

這個工具非常適合：

  • 學習線性獨立、向量空間或矩陣分解的學生
  • 從事模擬、信號處理或結構分析的工程師和科學家
  • 在機器學習工作流程中應用矩陣變換的數據分析師
  • 使用 LU 分解計算器 或 向量加法計算器 處理向量或矩陣的任何人

常見問題 (FAQ)

什麼是「正交」？

正交向量彼此成直角。它們的內積為零，這簡化了許多計算。

正交和正規有什麼區別？

正規向量是正交的，且每個向量的長度為 1。它們通常用於定義坐標系並簡化投影。

為什麼計算器需要線性獨立的向量？

如果您的向量不是線性獨立的，Gram-Schmidt 過程將無法產生有效的基底，因為某些向量可以寫成其他向量的組合。

加權內積有什麼用？

當不同維度具有不同的重要性或縮放時，會使用加權內積——這在物理或應用數學中很常見。

這與 QR 分解有什麼關係？

此計算器的輸出形成 QR 分解過程中的「Q」矩陣，這通常用於解線性方程組。

有用的相關工具

探索其他補充 Gram-Schmidt 計算的矩陣和向量工具：

總結

Gram-Schmidt 計算器提供了一種清晰且實用的方法，將線性獨立的向量轉換為正交或正規集合。它有助於學習、教學和應用向量空間變換。無論您是在分析數據、解決方程還是準備矩陣以進行進一步的分解，這個工具都為您的工作增添了精確性和清晰度。