拉普拉斯變換計算器

分類：微積分
- 2025年3月27日
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支援的函數與範例：

1. 次方函數

格式：t^n，其中 n 是正整數

範例：t^2、t^3、t^4

2. 指數函數

格式：e^(nt)，其中 n 是任何數字

範例：e^(2t)、e^(-3t)、e^(0.5t)

3. 三角函數

格式：sin(nt) 或 cos(nt)，其中 n 是任何數字

正確：sin(2t)、cos(3t)、sin(0.5t)

錯誤：sin(at)、cos(at)（請勿使用字母）

4. 與 t 相乘的函數

格式：t*函數，其中函數為指數函數或三角函數

正確：t*e^(2t)、t*sin(3t)、t*cos(4t)

錯誤：t*e^(at)、t*sin(at)（請勿使用字母）

5. 指數與三角函數的組合

格式：e^(nt)*trig(mt)，其中 n、m 是數字，trig 是 sin 或 cos

正確：e^(2t)*sin(5t)、e^(-3t)*cos(2t)

錯誤：e^(at)*sin(bt)（請勿使用字母）

拉普拉斯變換計算器：簡化複雜變換

拉普拉斯變換計算器是一個用戶友好的工具，旨在幫助您計算各種數學函數的拉普拉斯變換。本文解釋了拉普拉斯變換的目的、如何有效使用計算器，以及回答常見問題。

什麼是拉普拉斯變換？

拉普拉斯變換是一種強大的數學技術，用於將時間函數 ( f(t) ) 轉換為複變數 ( s ) 的函數，表示為 ( F(s) )。拉普拉斯變換在工程、物理和數學中被廣泛使用，以簡化系統分析，特別是在微分方程和控制理論中。

函數 ( f(t) ) 的拉普拉斯變換由以下公式給出：

[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ]

通過將時間域函數轉換為頻率域，拉普拉斯變換使得解決複雜問題變得更加簡單。

計算器的功能

計算器支持多種函數，包括：

  • 冪函數：( t^n )，其中 ( n ) 是正整數。
  • 指數函數：( e^{at} )，其中 ( a ) 是任意實數。
  • 三角函數：( \sin(at) )、( \cos(at) ) 及其與指數的組合。
  • 乘積函數：( t \cdot f(t) )，例如 ( t \cdot e^{at} ) 或 ( t \cdot \sin(at) )。
  • 組合函數：如 ( e^{at} \sin(bt) ) 和 ( e^{at} \cos(bt) )。

如何使用計算器

步驟說明

  1. 輸入函數：
  2. 在標記為 輸入函數 ( f(t) )： 的文本框中，輸入您想要轉換的函數。

  3. 例子：

    • ( t^2 )
    • ( e^{2t} )
    • ( \sin(3t) )
    • ( t \cdot e^{2t} )
    • ( e^{2t} \sin(5t) )

  4. 點擊計算：

  5. 按下 計算 按鈕以計算拉普拉斯變換。

  6. 計算器將：

    • 確定函數類型。
    • 應用相應的拉普拉斯變換公式。
    • 顯示結果和簡要解釋。

  7. 查看解答：

  8. 結果包括：

    • 原始函數 ( f(t) )。
    • 應用的拉普拉斯變換公式。
    • 簡化後的變換 ( F(s) )。

  9. 清除字段：

  10. 點擊 清除 按鈕以重置輸入並開始新的計算。

支持的函數示例

計算器支持多種函數。以下是一些例子：

1. 冪函數

  • 輸入：( t^2 )
  • 輸出：( \mathcal{L}{t^2} = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} )

2. 指數函數

  • 輸入：( e^{2t} )
  • 輸出：( \mathcal{L}{e^{2t}} = \frac{1}{s - 2} )

3. 三角函數

  • 輸入：( \sin(3t) )
  • 輸出：( \mathcal{L}{\sin(3t)} = \frac{3}{s^2 + 9} )

4. 乘積函數

  • 輸入：( t \cdot e^{2t} )
  • 輸出：( \mathcal{L}{t \cdot e^{2t}} = \frac{1}{(s - 2)^2} )

5. 組合函數

  • 輸入：( e^{2t} \sin(5t) )
  • 輸出：( \mathcal{L}{e^{2t} \sin(5t)} = \frac{5}{(s - 2)^2 + 25} )

常見問題 (FAQ)

拉普拉斯變換的目的是什么？

拉普拉斯變換通過將微分方程轉換為代數方程，簡化了動態系統的分析，這些方程更容易解決。

計算器支持哪些類型的函數？

計算器支持冪函數、指數函數、三角函數，以及像 ( t \cdot f(t) ) 或 ( e^{at} \sin(bt) ) 的組合。

計算器是否顯示中間步驟？

是的！計算器提供了用於計算拉普拉斯變換的公式的簡要解釋。

我可以在函數中輸入自定義變量或字母嗎？

不可以。計算器僅接受帶有數字和變量 ( t ) 的函數。使用數字來定義係數。

如果我輸入不支持的函數會發生什麼？

計算器將顯示錯誤消息，並建議您查看支持的函數列表。

計算器的好處

  • 節省時間：快速計算拉普拉斯變換，而無需手動計算。
  • 支持學習：提供解釋以幫助您理解變換過程。
  • 功能廣泛：涵蓋工程和數學中使用的大多數常見函數。

這款拉普拉斯變換計算器是學生、工程師和從事系統及微分方程工作的專業人士的絕佳工具。試試看，看看它如何簡化您的工作！