向量計算器
分類：線性代數
- 2025年08月15日
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計算向量運算，包括加法、減法、點積、叉積等。此計算器支持 2D 和 3D 向量，並提供逐步計算詳情。
向量輸入
向量 1
向量 2
向量加法：
$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$
點積：
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$
叉積：
$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$
向量的大小：
$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$
向量之間的角度：
$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$
向量投影：
$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$
標準化：
$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$
標量乘法：
$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$
什麼是向量計算器？
向量計算器是一個易於使用的在線工具，幫助您在2D和3D空間中執行基本的向量運算。它涵蓋了向量加法、減法、點積、叉積、大小、標準化、向量之間的角度、投影和標量乘法等計算。這使得它對學生、教育工作者、工程師以及任何從事線性代數或物理的人都非常有用。
如何使用向量計算器
- 選擇維度數：2D或3D。
- 從下拉菜單中選擇您要執行的向量運算。
- 輸入向量分量和標量（如果需要）。
- 使用選項設置小數精度、顯示計算步驟或可視化向量。
- 點擊計算按鈕以獲得結果。
- 點擊重置以開始新的計算。
主要特點
- 逐步結果：清楚地解釋計算的每個階段。
- 支持2D和3D：選擇適合您問題的維度。
- 互動可視化：在實時畫布上查看您的向量和結果。
- 多功能運算：從簡單的向量加法到叉積和投影。
- 精度控制：根據需要調整小數位數。
為什麼使用這個計算器？
向量數學在許多學科和工作領域中都是必不可少的。這個計算器簡化了過程，讓您專注於問題，而不是數學。無論您是在物理學中進行力分析、在計算機圖形學中處理方向數據，還是在解決線性代數問題，這個工具都能快速提供準確的答案。
您還可以將其與其他工具配合使用，例如向量加法工具來探索向量的組合，或使用向量大小工具來獨立計算向量長度。在處理更廣泛的矩陣相關問題時，您可能會發現LU分解計算器、QR分解工具和矩陣逆工具等工具非常有用。
常見問題 (FAQ)
什麼是向量？
向量是一種具有大小（長度）和方向的量。向量在2D或3D空間中由坐標表示，例如 (x, y) 或 (x, y, z)。
我可以用這個工具解決物理問題嗎？
可以。它對於解決涉及力、速度、位移和其他與向量相關的物理量的問題非常有用。
點積和叉積有什麼區別？
點積的結果是一個標量值，與兩個向量之間的角度有關。叉積產生另一個向量，該向量與原始的兩個向量垂直（僅在3D中）。
如果我只需要將向量乘以一個數字怎麼辦？
使用標量乘法選項來按常數值縮放向量（例如，將其長度加倍）。
我可以看到計算是如何進行的嗎？
可以。在計算之前勾選“顯示計算步驟”框以查看詳細的分解。
您可能會發現有用的相關工具
- 向量標量乘法計算器 – 輕鬆將向量乘以標量。
- 點積計算器 – 快速計算標量積。
- 叉積計算器 – 處理3D向量乘法。
- 矩陣逆計算器 – 用於通過矩陣解決向量系統。
- LU矩陣分解工具 – 將矩陣分解為下三角和上三角組件以解決系統。
這個向量計算器是一個實用且可靠的工具，適合任何學習或使用向量的人。它支持廣泛的運算，並以清晰且信息豐富的方式呈現結果。